哥德巴赫猜想：
哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和 。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。（n＞5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和）欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。常见的猜想陈述为欧拉的版本。
陈景润的成果又被称为“1+2”。这个成果虽然对于猜想的证明迈进了一大步，但离完全证实猜想还有很大距离。此后直到1996年去世，他都没能完成猜想的最终证明。
孪生素数猜想：
这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。
张益唐证明了有无穷多素数对(p,p+n)，n的下限不超过7千万！他的成果发表在世界顶级期刊《数学年刊》上。张益唐获得2014年度罗夫·肖克奖中的数学奖项，以奖励他在无穷多对孪生素数研究上取得的重大突破。这也是该奖项设立21年来首次颁给华裔学者。
N平方加1猜想：
杰波夫猜想：
就是在n∧2和(n+1)∧2之间一定有素数。 杰波夫猜想和孪生素数猜想为数论和数学研究打开了一片广阔的天地。素数定理不能直接用于杰波夫猜想的证明。
1855年，杰波夫认为，在n∧2和(n+1)∧2之间一定有素数，这就是杰波夫猜想。1905年，迈伦特证明了对于比9000000小的平方数，杰波夫猜想成立。
法国数学家布罗卡尔(1845-1922)认为在两个素数的平方之间至少有4个素数，例如：在9和25之间有素数11,13,17,19,23，这个命题既没有被证明,也没有被推翻。
黎曼猜想（或称黎曼假设）：
是关于黎曼ζ函数
ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。复平面上使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点，这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。
在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。即黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上（Re(s)表示复数s的实数部分）。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
费马大定理：
1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔·鲁宾向世界数学界发送了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模形椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁·怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环理论性质”作者理查德·泰勒和安德鲁·怀尔斯。至此费马大定理得证。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
以上这些猜想除了费马大定理，到目前为止，好像还都没有被完全证明出来。由此可见这些问题的难度。
由黎曼猜想与费马大定理已经应用于广义相对论和量子力学可以看到，纯数学理论的研究绝不是没有用。