大家是否有过这般经历？在乔迁之际，一个硕大的沙发卡在了走廊的拐角处，无论怎样用力去推，它都难以顺利通过。直至今日，这一搬沙发的难题终于被数学家攻克。

问题

搬沙发问题描述起来非常简单。

在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，能够通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是多少？

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 在 1966 年正式提出。这个问题要求沙发完整地在平面内移动，不能挤，不能压，更不能拆开再组装，问题限制在二维平面，所以大家别想把沙发立起来这种操作了。

这个问题看似简单，实则涉及复杂的几何优化。数学家们需要找到一个形状，它既能最大限度地利用走廊空间，又能顺利通过拐角。

解决的经过

早期尝试：正方形和半圆

最容易想到的是正方形的沙发，它边长是1， 刚好贴合走廊，通过的方法非常简单，就是平移，甚至根本不需要转动。正方形沙发的面积是1。但显然，我们还可以搬一个大一点的沙发。

找到一个能绕过走廊拐弯的形状其实很简单。半径为1的半圆就可以。这个半圆的话的面积为π/2 ≈ 1.57，它的面积比正方形大得多。

看来解决问题逐渐有了眉目， 接下来就是调整这个半圆的形状

Hammersley的突破：电话形状的沙发

1968年，英国数学家约翰·哈默斯利（John Hammersley）提出了一个更优的设计。他将半圆分成两个四分之一圆，中间用矩形连接，再在底部挖去一个小半圆。这个形状有点像老式电话听筒。哈默斯利通过计算发现，当挖去的小半圆半径为2/π ≈ 0.637时，沙发面积达到最大值π/2 + 2/π ≈ 2.2074。这个设计比半圆沙发面积又增加了近40%。

Gerver的优化：18段曲线的复杂形状

1992年，美国数学家约瑟夫·格尔弗（Joseph Gerver）提出了一个更复杂的形状。他的沙发由3条直线段和15条曲线段组成，面积约为2.2195，比哈默斯利的设计大了约0.0121。格尔弗的沙发形状非常复杂，它的面积无法用简单的数学常数：比如：π，e, 或平方根来表示。他通过求解微分方程组，确保沙发在移动过程中始终与走廊边界保持接触，从而达到最优。

Gerver沙发通过拐角的过程可以分解为四个关键步骤：

1. 初始位置：沙发大部分在走廊的一段，前端略微进入拐角。

2. 旋转阶段：沙发开始旋转，后端逐渐进入拐角。

3. 过渡位置：沙发与拐角两侧都保持接触，处于临界状态。

4. 最终位置：沙发完成旋转，大部分进入走廊的另一段。

一个意外的证明

多年来，数学家们普遍认为，要证明格尔弗沙发的最优性需要强大的计算机进行辅助计算。但2024年底，韩国延世大学的博士后白镇彦（Jineon Baek）发表了一篇119页的论文，通过纯碎的理论，完整地证明了格尔弗沙发就是最优解。这篇论文之所以引人注目，不仅仅是因为它解决了一个存在60年的难题。数学家们现在希望，他所使用的这些方法或许能帮助他们在其他类型的优化问题上取得进展。

他的论文是公开的，大家可以在这里下载：
https://arxiv.org/pdf/2411.19826

白镇彦的证明核心是构造了一个新函数Q。这个函数具有两个关键性质：

1. 对于任何可移动的沙发形状，Q的值都大于等于该沙发的面积。

2. 对于Gerver沙发，Q的值恰好等于其面积。

通过证明Gerver沙发的面积Q 恰好等于 Q的最大值，白镇彦得出结论：没有比Gerver沙发更大的可移动沙发了。

价值意义

虽然"搬沙发问题"本身是一个纯理论的几何问题，但它的解决对其他领域有重要启发：

• 机器人：在狭窄空间中移动的机器人，比如：家庭服务机器人、手术机器人需要类似的路径规划算法。解决搬沙发问题的思路可以帮助更好的设计机器人
• 物流与仓储：在仓库或者货舱中，如何最优地移动大型货物是一个非常实际的问题。这些问题也都和搬沙发问题相似。
• 工业设计： 从家具到汽车，产品设计也常常需要考虑通过狭窄空间的能力。

"搬沙发问题"告诉我们，看似简单的日常生活问题背后可能隐藏着深刻的数学原理。从1966年提出问题，到2025年最终解决问题，数学家们用了近60年的时间。这个过程中，数学家发展了新的几何优化方法，这些方法将继续影响其他数学领域的研究。正如白镇彦的导师所说："他能够在没有计算机帮助的情况下做到这一点，实在令人印象深刻。这表明他提出了真正具有重要意义的新思想。"

参考文献

[1] Romik, D. (2016). The moving sofa problem. https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/

[2] Fuchs, T. (2025). Mathematicians Solve Infamous 'Moving Sofa Problem'. Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-infamous-moving-sofa-problem/

[3] Green, R. (2025). The Largest Sofa You Can Move Around a Corner. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/the-largest-sofa-you-can-move-around-a-corner-20250214/

[4] DC, S. (2025). The Moving Sofa Problem: A Geometric Puzzle That Still Defies Solution. Math-Soc. https://math-soc.com/2025/05/05/the-moving-sofa-problem-a-geometric-puzzle-that-still-defies-solution/

[5] 知乎专栏. (2025). 移动沙发问题被宣布证明: 能顺利转过拐角的最大沙发.
https://zhuanlan.zhihu.com/p/24609036553

[6] ScienceAlert. (2024). Mathematician Finally Solves Age-Old Moving Sofa Problem. https://www.sciencealert.com/mathematician-finally-solves-age-old-moving-sofa-problem

[7] Weisstein, E. W. (2025). Moving Sofa Problem. MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html